Ο Λαγκράνζ επινόησε τη μέθοδο της επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, γνωστή ως μεταβολή των παραμέτρων, εφάρμοσε τον διαφορικό λογισμό και τη θεωρία των πιθανοτήτων και έκανε αξιόλογη δουλειά στη λύση των εξισώσεων. Απέδειξε ότι κάθε φυσικός αριθμός είναι ένα άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. Στην διατριβή του Θεωρία των Αναλυτικών Λειτουργιών βρίσκονται μερικά από τα θεμέλια της θεωρίας της ομάδας προετοιμάζοντας το έδαφος για τον Galois. Στον λογισμό ο Λαγκράνζ ανέπτυξε μια καινούρια προσέγγιση στην παρεμβολή και στις σειρές Taylor. Μελέτησε το πρόβλημα των τριών σωμάτων για τη γη,τον ήλιο και τη σελήνη και την κίνηση των δορυφόρων του Δία και το 1722 βρήκε τις λύσεις σε αυτή την ειδική περίπτωση του προβλήματος που βρίσκεται σε αυτά που είναι γνωστά ως σημεία Λαγκράνζ. Αλλά πάνω από όλα εντυπωσίασε στην μηχανική, έχοντας μεταμορφώσει τη Νευτώνεια μηχανική σε έναν τομέα ανάλυσης, την μηχανική του Λαγκράνζ όπως λέγεται τώρα, και παρουσίασε τις επονομαζόμενες Αρχές της Μηχανικής ως απλά αποτελέσματα του λογισμού των μεταβολών.
