Ο κανόνας της αλυσίδας
  • μέγεθος γραμματοσειράς +

Γιατί ονομάζεται κανόνας της αλυσίδας; Μερικά χρήσιμα παραδείγματα για την κατανόηση του θεωρήματος, καθώς και η απόδειξη του.

Τ
ο θεώρημα παραγώγισης σύνθετων συναρτήσεων ή αλλιώς ο κανόνας της αλυσίδας διδάσκεται στους μαθητές της Γ' Λυκείου. Συνήθως οι μαθητές μαθαίνουν ένα μνημονικό κανόνα, ο οποίος είναι αποτελεσματικός, ως προς την εύρεση της παραγώγου, αλλά όχι τόσο στην κατανόηση του θεωρήματος. Εκτός την απόδειξη του θεωρήματος, την οποία μπορείτε να δείτε παρακάτω, προτείνονται μερικά παραδείγματα, τα οποία, βοηθούν στην κατανόηση του θεωρήματος. Ακόμα, δίνεται ένα παράδειγμα που δικαιολογεί τον όρο "κανόνας της  αλυσίδας". Καταρχήν το θεώρημα διατυπώνεται ως εξής:

 

Αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g(\Delta ), τότε η συνάρτηση fog είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει:

{\left[ {\left( {fog} \right)(x)} \right]^\prime } = {\left[ {f\left( {g(x)} \right)} \right]^\prime } = f'\left( {g(x)} \right) \cdot g'(x)

ή χρησιμοποιώντας το συμβολισμό του Leibniz με y = f(u)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,u = g(x)

\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}

Την απόδειξη του θεωρήματος μπορείτε να την δείτε πατώντας εδώ

 

Παράδειγμα 1: Συσχετίζοντας παραγώγους

Θεωρούμε τις συναρτήσεις y = f(u) = 2u και u = g(x) = 3x - 5. Η σύνθεση fog ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό και ισχύει:

y = h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = f(3x - 5) = 2(3x - 5) = 6x - 10

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε πως συνδέονται οι παράγωγοι αυτών των τριών συναρτήσεων.

Λύση:

Έχουμε:

 h'(x) = \frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{d(6x - 10)}}{{dx}} = 6

f'(u) = \frac{{dy}}{{du}} = 2

g'(x) = \frac{{du}}{{dx}} = \frac{{d(3x - 5)}}{{dx}} = 3

Εφόσον 6 = 2 \cdot 3 παρατηρούμε πως ισχύει h'(x) = {\left( {(fog)(x)} \right)^\prime } = f'(g(x)) \cdot g'(x) ή \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}

Αν σκεφτούμε ότι η παράγωγος είναι ένας ρυθμός μεταβολής, αντιλαμβανόμαστε διαισθητικά ότι η παραπάνω σχέση είναι εύλογη. Αν η y=f(u) μεταβάλλεται 2 φορές γρηγορότερα από την u, και η u μεταβάλλεται 3 φορές γρηγορότερα από την x, τότε αναμένουμε ότι η y θα μεταβάλλεται 6 φορές γρηγορότερα από την x. To τελικό αποτέλεσμα παραπέμπει σ' ένα σύστημα οδοντωτών τροχών.

Παράδειγμα 2: Συσχετίζοντας οδοντωτούς τροχούς

  chain rule 2

Τροχός Γ      Τροχός Β       Τροχός Α

Το παραπάνω σύστημα αποτελείται από τους οδοντωτούς τροχούς Α, Β, Γ οι οποίοι έχουν 18, 6 και 12 γρανάζια αντίστοιχα. Πως συσχετίζονται οι στροφές που παίρνουν οι τροχοί;

Λύση:

Το σύστημα λειτουργεί ως εξής:

  • για κάθε στροφή του τροχού Α, ο τροχός Β παίρνει 3 στροφές (γιατί ο Α έχει τριπλάσια γρανάζια από τον Β) και
  • για κάθε στροφή του τροχού Β, ο τροχός Γ παίρνει 1/2 στροφή (γιατί ο Β έχει μισά γρανάζια από τον Γ)

Σύμφωνα με τις παραπάνω προτάσεις αν υποθέσουμε πως ο τροχός Α παίρνει x στροφές, ο τροχός Β παίρνει u στροφές και ο τροχός Γ παίρνει y στροφές, προκύπτει πως:

u = 3x\,\,,\,\,y = \frac{u}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \frac{{3x}}{2}

Συνεπώς: 

\,\,\frac{{du}}{{dx}} = 3,\,\,\frac{{dy}}{{du}} = \frac{1}{2},\,\,\,\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{3}{2}και

 

\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}

 

Όπως αναφέραμε ο κανόνας παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης είναι γνωστός και ως κανόνας της αλυσίδας. Ας δούμε ένα παράδειγμα που δικαιολογεί αυτή την ονομασία.

Παράδειγμα 3: Αλυσίδα ποδηλάτου

chain rule 1

Η αλυσίδα ενός ποδηλάτου γυρνά γύρω από δυο κυκλικούς δίσκους. Όταν περιστρέφεται ο πρώτος δίσκος, η αλυσίδα μεταφέρει την κίνηση (χωρίς ολίσθηση) στο δεύτερο δίσκο. Έστω r>0  και R>0 οι ακτίνες του πρώτου και δεύτερου δίσκου αντίστοιχα. Όταν ο πρώτος δίσκος περιστραφεί κατά γωνία dθ, τότε κάθε σημείο του πρώτου κύκλου θα περιστραφεί κατά τόξο dl = r \cdot d\theta  . Ταυτόχρονα κάθε σημείο της αλυσίδας θα μετακινηθεί κατά dl γεγονός που θα προκαλέσει την περιστροφή του δεύτερου κύκλου κατα γωνία d\omega  με dl = R \cdot d\omega .

Επομένως ισχύει R \cdot d\omega  = r \cdot d\theta \,\,(1) \Rightarrow \frac{r}{R} = \frac{{d\omega }}{{d\theta }}\,\,(2)

Τώρα, έστω ότι για την περιστροφή του πρώτου δίσκου χρειάζεται χρόνος dt. Προφανώς ο ίδιος χρόνος χρειάζεται και για την περιστροφή του δεύτερου κύκλου κατά γωνία {d\omega }. Από την σχέση (1) προκύπτει:

\frac{{R \cdot d\omega }}{{dt}} = \frac{{r \cdot d\theta }}{{dt}} \Rightarrow \frac{{d\omega }}{{dt}} = \frac{r}{R} \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}} και αντικαθιστώντας την σχέση (2) έχουμε \frac{{d\omega }}{{dt}} = \frac{{d\omega }}{{d\theta }} \cdot \frac{{d\theta }}{{dt}}\,. Αυτός ακριβώς είναι ο κανόνας της αλυσίδας.

Δημήτρης Παπαδάκης 

Μαθηματικός, Απόφοιτος Πανεπιστημίου Κρήτης

 

Διαβάστε ακόμα

Που θα μας βρείτε

1η Πάροδος Οπλαρχηγού Λακέρδα 6
Ιεράπετρα, Κρήτη

 

6972280996 και 2842110582

 

dimitris_papadakis@yahoo.gr contact@dpmath.gr

Στείλτε μας μήνυμα

{mosmap}