Οι μαθητές , προσπαθώντας να λύσουν μια άσκηση ή ένα πρόβλημα, πολλές φορές δεν φθάνουν στο ζητούμενο, με αποτέλεσμα να θεωρούν ότι έχασαν άσκοπα το χρόνο τους. Έτσι λοιπόν το μόνο που απομένει είναι να διαβάσουν τη λύση της άσκησης, με ελπίδα όταν θα συναντήσουν κάποια παρόμοια προβλήματα να μπορέσουν να τα αντιμετωπίσουν.
Αυτή η διαδικασία όμως αποτυγχάνει. Είναι η τελευταία ενέργεια που μπορεί να γίνει πριν από εξετάσεις αλλά σε καμιά περίπτωση δεν μπορεί να είναι ο βασικός τρόπος διαβάσματος των μαθηματικών. Τα μαθηματικά έχουν ένα δικό τους τρόπο μελέτης...
Όταν ήμουν μικρός, κόμπαζα για το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα σε μία ώρα. Στο κολέγιο έμαθα πόσο βλακώδες ήταν αυτό. Το να διαβάζεις δέκα σελίδες μαθηματικά την ημέρα μπορεί να είναι ένας εξαιρετικά γοργός ρυθμός. Ακόμα και μία σελίδα, όμως, μπορεί να είναι αρκετή.Edward Frenkel
Τα μαθηματικά απαιτούν χρόνο για μπορέσουμε να εξοικιωθούμε με το πρόβλημα, να δοκιμάσουμε τις έννοιες που έχουμε διδαχθεί, να καταγράψουμε δυνατούς δρόμους για την επίλυσή του. Παρ' όλα αυτά μπορεί και πάλι να μην φθάσουμε στη λύση. Το όφελος όμως είναι ότι θα έχουμε κατανοήσει σε μεγαλύτερο βάθος τις μαθηματικές έννοιες και τι αυτές παράγουν όταν τις συνδυάζουμε.
Πάνω σ΄αυτό το θέμα υπάρχει ένα κλασσικό βιβλίο του G. Polya με τον τίτλο "Πώς να το λύσω". Στο βιβλίο αυτό ο Polya αναπτύσει ένα γενικό σχέδιο που μπορούμε να εφαρμόσουμε για την επιτυχή επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.
Το διάγραμμα της μεθόδου του Poya
A. Κατανόηση του προβλήματος
Κατανοήστε το πρόβλημα...
- Ποιό είναι το ζητούμενο; Ποιά είναι τα δεδομένα; Ποιά είναι η συνθήκη;
- Είναι δυνατό να ικανοποιηθεί η συνθήκη;
- Είναι η συνθήκη επαρκής για τον προσδιορισμό του ζητούμενου;
- Μήπως είναι ανεπαρκής; Ή πλεοναστική; Ή αντιφατική;
- Χαράξτε ένα σχήμα. Χρησιμοποιήστε κατάλληλο συμβολισμό.
- Χωρίστε τα διάφορα μέρη της συνθήκης. Μπορείτε να τα γράψετε;
Β. Επινόηση ενός σχεδίου
Βρείτε τη σχέση μεταξύ των δεδομένων και του ζητούμενου. Αν δεν μπορεί να βρεθεί άμεση συσχέτιση, ίσως να αναγκαστείτε να εξετάσετε βοηθητικά προβλήματα. Πρέπει τελικά να αποκτήσετε ένα σχέδιο της λύσης...
- Το έχετε συναντήσει άλλοτε; Μήπως έχετε δει το ίδιο πρόβλημα με λίγο διαφορετική μορφή;
- Γνωρίζετε κανένα σχετικό πρόβλημα;
- Γνωρίζετε κανένα θεώρημα που θα μπορούσε να είναι χρήσιμο;
- Αναλογιστείτε το ζητούμενο. Προσπαθείστε να σκεφθείτε γνωστό πρόβλημα με το ίδιο ή παρόμοιο ζητούμενο.
- Να ένα πρόβλημα σχετικό με το δικό σας, που το έχετε λύσει άλλοτε. Θα μπορούσατε να το χρησιμοποιήσετε; Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμά του; Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδό του; Μήπως πρέπει να εισάγετε κανένα βοηθητικό στοιχείο, για να γίνει δυνατή η χρησιμοποίησή του;
- Θα μπορούσατε να διατυπώσετε πάλι το πρόβλημα; Θα μπορούσατε να το διατυπώσετε διαφορετικά; Ανατρέξτε στους ορισμούς.
- Αν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, προσπαθήστε να λύσετε πρώτα ένα άλλο σχετικό πρόβλημα. Θα μπορούσατε να σκεφθείτε ένα προσιτότερο σχετικό πρόβλημα; Ένα γενικότερο πρόβλημα; Ένα ειδικότερο πρόβλημα; Ένα ανάλογο πρόβλημα; Θα μπορούσατε να λύσετε ένα μέρος του προβλήματος; Κρατήστε μόνο ένα μέρος της συνθήκης και αγνοήστε το άλλο μέρος. Κατά πόσο έχει έτσι προσδιοριστεί το ζητούμενο και κατά ποιό τρόπο μπορεί αυτό να μεταβάλλεται;
- Θα μπορούσατε να εξαγάγετε κάτι χρήσιμο από τα δεδομένα; Θα μπορούσατε να σκεφθείτε άλλα δεδομένα, κατάλληλα για τον προσδιορισμό του ζητουμένου; Θα μπορούσατε να αλλάξετε το ζητούμενο ή τα δεδομένα, ή στην ανάγκη και τα δύο, έτσι ώστε το νέο ζητούμενο και τα νέα δεδομένα να βρίσκονται πιο κοντά μεταξύ τους;
- Χρησιμοποιήσατε όλα τα δεδομένα; Χρησιμοποιήσατε ολόκληρη τη συνθήκη; Λάβατε υπόψη σας όλες τις ουσιώδεις έννοιες που περιέχονται στο πρόβλημα;
Γ. Εκτέλεση του σχεδίου
Εκτελέστε το σχέδιο σας...
- Όταν εκτελείτε το σχέδιο της λύσης, να ελέγχετε κάθε βήμα. Μπορείτε να αντιληφθείτε καθαρά ότι το βήμα είναι ορθό; Μπορείτε να αποδείξετε ότι είναι ορθό;
Δ. Ανασκόπηση
Εξετάστε τη λύση που βρήκατε.
- Μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμα; Μπορείτε να ελέγξετε την αιτιολόγηση;
- Μπορείτε να βρείτε το αποτέλεσμα με διαφορετικό τρόπο; Μπορείτε να το δείτε μεμιάς;
- Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα ή τη μέθοδο, για κάποιο άλλο πρόβλημα;
Τα προβλήματα που ακολουθούν μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν παραδείγματα στην λύση μαθηματικών προβλήματων.
Δημήτρης Παπαδάκης
Μαθηματικός, Απόφοιτος Πανεπιστημίου Κρήτης