Αθροίσματα Riemann και ορισμένο ολοκλήρωμα με το Geogebra
  • μέγεθος γραμματοσειράς +

Διαμερίσεις, αθροίσματα Riemann και ορισμένο ολοκλήρωμα με τη χρήση του λογισμικού Geogebra


 
Ο τελεστής του αθροίσματος

Πολλές φορές στα μαθηματικά θέλουμε να γράψουμε ένα άθροισμα με πολλούς όρους. Για το συμβολισμό, αυτών των αθροισμάτων σε συμπαγή μορφή, χρησιμοποιούμε το σύμβολο \sum {}  όπως βλέπετε στα παρακάτω παραδείγματα: 

{\alpha _1} + {\alpha _2} + ... + {\alpha _{99}} + {\alpha _{100}} =  \sum \limits_{i = 1}^{100} {\alpha _i}

\,{\xi _1} + {\xi _2} +  \ldots  + {\xi _{\nu  - 1}} + {\xi _\nu } =  \sum \limits_{i = 1}^\nu  {\xi _i}

Οι τιμές του δείκτη κάτω και πάνω από το Σ δηλώνουν τον πρώτο και τον τελευταίο όρο του αθροίσματος αντίστοιχα.

 

Διαμέριση διαστήματος

Έστω ένα διάστημα [α,β] και ένας φυσικός αριθμός ν. Θεωρούμε:

{x_0} = \alpha \;,\;\;\Delta x = \frac{{\beta  - \alpha }}{\nu }

και χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους Δx. Έχουμε λοιπόν τα σημεία:

{x_0} = \alpha ,\;{x_1} = \alpha  + \Delta x,\;\;{x_2} = a + 2\Delta x,\; \ldots \;,\;{x_\nu } = \beta

τα οποία δημιουργούν τα υποδιαστήματα,

 \left[ {{x_0},{x_1}} \right],\;\left[ {{x_1},{x_2}} \right], \ldots ,\left[ {{x_{k - 1}},\;{x_k}} \right],\; \ldots ,\;\left[ {{x_{\nu  - 1}},{x_\nu }} \right]

Αυτή η διαδικασία ονομάζεται διαμέριση του [α,β]. 

diamerisi

 

Άθροισμα Riemann

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α,β]. Θεωρούμε μια διαμέριση Ρ του [α,β] που χωρίζει το [α,β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα της μορφής

\left[ {{x_0},{x_1}} \right],\;\left[ {{x_1},{x_2}} \right], \ldots ,\left[ {{x_{k - 1}},\;{x_k}} \right],\; \ldots ,\;\left[ {{x_{\nu  - 1}},{x_\nu }} \right]

Στη συνέχεια, σε καθένα από τα ν διαστήματα, επιλέγουμε ένα {\xi _\kappa }\,\omega \sigma \tau \varepsilon \,{\xi _\kappa } \in \left[ {{x_{\kappa  - 1}},\;{x_\kappa }} \right]\;\mu \varepsilon \;\kappa  \in \left\{ {1,2, \ldots ,\;\nu } \right\} 

Καθώς η f είναι συνεχής στο [α,β], για κάθε μια από τις τιμές ξκ θα αντιστοιχεί και μια τιμή της συνάρτησης f(ξκ). Ορθώνουμε ένα κατακόρυφο ορθογώνιο με βάση Δx και ύψος  f(ξκ).Τα ορθογώνια αυτά κείνται είτε πάνω είτε κάτω από τον άξονα x'x όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

rectangles integral

Υπολογίζουμε το άθροισμα:

\Delta x \cdot f({\xi _1}) + \Delta x \cdot f({\xi _2}) + ... + \Delta x \cdot f({\xi _\kappa }) + ... + \Delta x \cdot f({\xi _\nu }) = \sum\limits_{i = 1}^\nu  {f({\xi _i})}  \cdot \Delta x

το οποίο συμβολίζεται με Sν και ονομάζεται άθροισμα Riemann. Το άθροισμα Riemann εξαρτάται από τη διαμέριση Ρ και την επιλογή των τιμών ξκ.Παρατηρήστε πως κάποιες τιμές της f μπορεί να είναι αρνητικές, επομένως και οι αντίστοιχοι όροι του αθροίσματος θα είναι αρνητικοί αριθμοί. 

 

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Καθώς αυξάνουμε το ν, δηλαδή πυκνώνουμε τη διαμέριση Ρ, τα αντίστοιχα αθροίσματα Riemann συγκλίνουν σε μια οριακή τιμή που ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το α στο β. Αποδεικνύεται ότι το όριο ενός αθροίσματος Riemann καθώς το ν τείνει στο άπειρο είναι πραγματικός αριθμός και ανεξάρτητος από τις επιλογές της διαμέρισης Ρ και των τιμών ξκ.

 

Ορισμός

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα [α,β]. Για μια τυχαία διαμέριση Ρ του [α,β] επιλέγουμε τυχαία τους αριθμούς ξκ στα υποδιαστήματα [xk-1 , xk]. Αποδεικνύεται ότι το όριο του αθροίσματος Riemann καθώς το ν τείνει στο άπειρο είναι πραγματικός αριθμός και ανεξάρτητος της επιλογής της διαμέρισης Ρ καθώς και των τιμών f(ξκ), δηλαδή ισχύει:

 {lim}\limits_{\nu  \to  + \infty } \left( {\sum\limits_{k = 1}^\nu  {f({\xi _\kappa })\Delta x} } \right) = I \in \mathbb{R}

Αυτός ο πραγματικός αριθμός ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το α στο β και συμβολίζεται

 I = \int\limits_\alpha ^\beta  {f(x)dx}

 

Χρησιμοποιήστε την παρακάτω εφαρμογή του Geogebra για να μελετήσετε την έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος. Δώστε μια συνεχή συνάρτηση f(x) και τα όρια ολοκλήρωσης α,β. Έπειτα, δείτε πως δημιουργούνται, τα υποδιαστήματα του [α,β], η τυχαία επιλογή των τιμών ξκ , οι τιμές f(ξκ) και τα κατακόρυφα ορθογώνια. Κινώντας τη κουκκίδα προς τα δεξιά μπορείτε να πυκνώσετε την διαμέριση του [α,β]. Παρατηρήστε πως, καθώς το n αυξάνεται, το άθροισμα Riemann συγκλίνει σε μια οριακή τιμή που ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της f στο [α,β].

 

 

Που θα μας βρείτε

1η Πάροδος Οπλαρχηγού Λακέρδα 6
Ιεράπετρα, Κρήτη

 

6972280996 και 2842110582

 

dimitris_papadakis@yahoo.gr contact@dpmath.gr

Στείλτε μας μήνυμα

{mosmap}