Το παράδοξο του Monty Hall

Το παράδοξο του Monty Hall

μέγεθος γραμματοσειράς + –

Tο τηλεπαιχνίδι "Let’s make a deal" προβλήθηκε στο αμερικάνικο κανάλι ABC από το 1963 μέχρι το 1991 με παρουσιαστή τον Καναδό Monty Hall. Είναι ένα από τα ιστορικότερα τηλεπαιχνίδια, προβάλλεται σε διάφορες παραλλαγές του ακόμα και σήμερα, όμως οι κανόνες του παιχνιδιού δημιούργησαν μεγάλη σύγχυση στη μαθηματική κοινότητα και όχι μόνο!

Το 1975 ο Steve Selvin έστειλε ένα γράμμα στο περιοδικό American Statistician, δημοσιεύοντας ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο αργότερα ονόμασε "Monty Hall problem”. Το παράδοξο (ή πρόβλημα) του Monty Hall έχει ως εξής:

Υπάρχουν τρεις πόρτες. Η μία εξ αυτών κρύβει ένα αυτοκίνητο. Όλες οι υπόλοιπες κρύβουν από μία κατσίκα. Ο παίκτης καλείται να διαλέξει μια πόρτα.
Ας πούμε πως ο παίκτης επιλέγει την 1η πόρτα. Ο παρουσιαστής δε θα ανοίξει αμέσως αυτήν την πόρτα, αλλά θα καθυστερήσει, ανοίγοντας ας πούμε την 2η πόρτα, η οποία κρύβει (πάντα) μία κατσίκα.
Έπειτα ο παρουσιαστής δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δύο πόρτες που έχουν απομείνει ή βέβαια, αν θέλει, να διατηρήσει την αρχική του επιλογή.
Τι πρέπει να κάνετε;

Η συντριπτική πλειοψηφία (87%) απαντά ότι δεν υπάρχει διαφορά όποια πόρτα κι αν διαλέξει ο παίκτης, καθώς έχουν μείνει 2 πόρτες, άρα έχει πιθανότητα 50% να κερδίσει το αυτοκίνητο. Δηλαδή το παιχνίδι έχει μετατραπεί στην ουσία σε ένα παιχνίδι τύπου κορώνα-γράμματα. Οι πιθανότητες είναι ίδιες επομένως ο παίκτης δεν έχει κάποιο λόγο να αλλάξει την αρχική του επιλογή. Η προσέγγιση αυτή μοιάζει προφανής και λογική όμως είναι λανθασμένη!!

Το 1990 στο περιοδικό Parade υπήρχε μια στήλη στην οποία αρθογραφούσε η Marilyn vos Savant η οποία κατείχε το ρεκόρ Γκίνες με το υψηλότερο I.Q στον κόσμο. Η στήλη ονομαζόταν Ask Marilyn (Ρωτήστε τη Μέριλιν) και σε αυτήν απαντούσε σε ερωτήσεις μαθηματικών που της έστελναν οι αναγνώστες. Όταν η Marilyn vos Savant δημοσίευσε το πρόβλημα του Monty Hall διατύπωσε τη σωστή στρατηγική δηλαδή ότι ο παίκτης πρέπει πάντα να αλλάζει την αρχική του επιλογή. Έκτοτε δέχθηκε χιλιάδες γράμματα που διαφωνούσαν με την άποψη της. Τουλάχιστον 10.000 αναγνώστες απάντησαν στο περιοδικό με την πλειοψηφία τους να κατακρίνει τη στρατηγική της Marilyn και να αμφιβάλει για το υψηλό της I.Q. Η μεγαλύτερη κατακραυγή προήλθε από μαθηματικούς και επιστήμονες κατηγορώντας την για μαθηματικό αναλφαβητισμό. Το πρόβλημα Monty Hall έγινε σημείο συζήτησης από τις αίθουσες της CIA έως τους κοιτώνες των πιλότων στον πόλεμο του Περσικού Κόλπου. Μελετήθηκε από μαθηματικούς και προγραμματιστές υπολογιστών στο ΜΙΤ, τέθηκε σαν πρόβλημα σε χιλιάδες σχολεία των Ηνωμένων Πολιτειών και έγινε πρωτοσέλιδο στην εφημερίδα New York Times.

Όμως η Marilyn vos Savant είχε δίκιο. Και ιδού o τρόπος με τον οποίο μπορείτε να το αποδείξετε εξετάζοντας τις πιθανότητες νίκης επιμένοντας στην αρχική σας επιλογή ή αλλάζοντας γνώμη.

Ξεκινώντας το παιχνίδι το αυτοκίνητο κρύβεται πίσω από μια από τις τρεις πόρτες. Επομένως υπάρχουν τρία διαφορετικά "σενάρια" όπως βλέπετε στον παρακάτω πίνακα.

Πόρτα 1	Πόρτα 2	Πόρτα 3
Αυτοκίνητο	Κατσίκα	Κατσίκα
Κατσίκα	Αυτοκίνητο	Κατσίκα
Κατσίκα	Κατσίκα	Αυτοκίνητο

Στρατηγική 1η - Ο παίκτης επιμένει στην αρχική μας επιλογή

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης επιλέγει την πρώτη πόρτα. Ο παρουσιαστής γνωρίζει τι κρύβεται πίσω από κάθε πόρτα έτσι σε κάθε σενάριο θα ανοίξει μια πόρτα που πίσω της κρύβεται μια κατσίκα. Με πορτοκαλί γράμματα στον παρακάτω πίνακα βλέπετε την πόρτα που θα επιλέξει να ανοίξει ο παρουσιαστής σε κάθε περίπτωση. Ο παίκτης επιμένει στην αρχική του επιλογή έτσι κερδίζει 1 στις 3 φορές. (Ποσοστό νίκης: 33%)

Πόρτα 1	Πόρτα 2	Πόρτα 3	Αποτέλεσμα αν επιμείνει
Αυτοκίνητο	Κατσίκα	Κατσίκα	Αυτοκίνητο
Κατσίκα	Αυτοκίνητο	Κατσίκα	Κατσίκα
Κατσίκα	Κατσίκα	Αυτοκίνητο	Κατσίκα

Στρατηγική 2^η - Ο παίκτης αλλάζει πάντα την αρχική του επιλογή

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης επιλέγει την πρώτη πόρτα. Ο παρουσιαστής γνωρίζει τι κρύβεται πίσω από κάθε πόρτα έτσι σε κάθε σενάριο θα ανοίξει μια πόρτα που πίσω της κρύβεται μια κατσίκα. Με πορτοκαλί γράμματα στον παρακάτω πίνακα βλέπετε την πόρτα που θα επιλέξει να ανοίξει ο παρουσιαστής σε κάθε περίπτωση. Ο παίκτης αλλάζει επιλογή και έτσι κερδίζει 2 στις 3 φορές. (Ποσοστό νίκης 66%)

Πόρτα 1	Πόρτα 2	Πόρτα 3	Αποτέλεσμα αν αλλάξει
Αυτοκίνητο	Κατσίκα	Κατσίκα	Κατσίκα
Κατσίκα	Αυτοκίνητο	Κατσίκα	Αυτοκίνητο
Κατσίκα	Κατσίκα	Αυτοκίνητο	Αυτοκίνητο

Καλύτερα ας παίξουμε το παιχνίδι! Μπορείτε να ακολουθήσετε και τις δύο στρατηγικές, να αυξήσετε τον αριθμό των πορτών και να μελετήσετε τα στατιστικά σας!!

Καλώς ήλθατε στο Monty Hall

1. Διαλέξτε μια πόρτα

2. Μένετε ή αλλάζετε;(Πατήστε στη πόρτα που θέλετε)

3. Δείτε τα αποτελέσματα(Πατήστε για να ξαναπαίξετε)

Πόρτες: Επαναφορά

Στατιστικά:

Το παράδοξο του Monty Hall είναι ένα κλασικό παράδειγμα πιθανοτήτων συσχετισμού της τρέχουσας πιθανότητας με την αρχική πιθανότητα και αυτό ακριβώς είναι αυτό προκάλεσε σύγχυση τόσο στη κατανόηση όσο και στην επίλυση του προβλήματος. Η πιθανότητα να κρύβεται το αυτοκίνητο πίσω από τη πόρτα μας συσχετίζεται με το γεγονός ότι ο Monty αποκαλύπτει πάντα μια πόρτα πίσω από την οποία κρύβεται μια κατσίκα.

Στη Θεωρία Πιθανοτήτων και στη Στατιστική το Θεώρημα Bayes διατυπώνει αυτή ακριβώς τη σχέση. Το θεώρημα πήρε το όνομα του από τον Βρετανό κληρικό Thomas Bayes (1701–1761), ο οποίος πρώτος έδειξε τον τρόπο που χρησιμοποιούνται τα νέα στοιχεία για την ανανέωση των εκάστοτε πεποιθήσεων. Αυτό αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Pierre-Simon Laplace, ο οποίος πρώτος δημοσίευσε τη μοντέρνα διατύπωση το 1812 στο βιβλίο του Théorie analytique des probabilités. Ο Harold Jeffreys έθεσε τον αλγόριθμο του Bayes και την διατύπωση του Laplace σε αξιωματική βάση. Ο Jeffreys έγραψε πως "το θεώρημα Bayes είναι στη θεωρία πιθανοτήτων όπως αντίστοιχα το Πυθαγόρειο θεώρημα στη Γεωμετρία."

Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα να κρύβεται το αυτοκίνητο πίσω από την πόρτα που επιλέξαμε με δεδομένο ότι ο Monty αποκαλύπτει πάντα μια κατσίκα.

Μερικές πληροφορίες για τον ορισμό και τον υπολογισμό της πιθανότητας μπορείτε να δείτε εδώ

Aν ονομάσουμε:

A το ενδεχόμενο πίσω από την πόρτα που θα επιλέξουμε να κρύβεται το αυτοκίνητο και
K είναι το δεδομένο ότι ο Monty αποκαλύπτει πάντα μια πόρτα που κρύβει μια κατσίκα

τότε η πιθανότητα για να κερδίσουμε το αυτοκίνητο συμβολίζεται με $P(A|K)$ η οποία σύμφωνα με το θεώρημα του Bayes ισούται με:

$P(A|K)=\frac{P(K|A)\cdot P(A)}{P(K|A)\cdot P(A)+P(K|A')\cdot P(A')}$

$P(A)$ είναι η πιθανότητα η πόρτα που επιλέξαμε αρχικά να κρύβει το αυτοκίνητο. Είναι $P(A)=\frac{1}{3}$

$P(A')$ είναι η πιθανότητα η πόρτα που επιλέξαμε αρχικά να μην κρύβει το αυτοκίνητο. Είναι $P(A')=\frac{2}{3}$

$P(K|A)$ είναι η πιθανότητα ο Monty να ανοίξει μια πόρτα που κρύβει κατσίκα όταν η πόρτα που επιλέξαμε κρύβει το αυτοκίνητο. Εφόσον ο Monty αποκαλύπτει πάντα μια κατσίκα οπότε είναι $P(K|A)=1$

$P(K|A')$ είναι η πιθανότητα ο Monty να ανοίξει μια πόρτα που κρύβει κατσίκα όταν η πόρτα που επιλέξαμε δεν κρύβει το αυτοκίνητο. Όμως ο Monty αποκαλύπτει πάντα μια κατσίκα οπότε είναι $P(K|A')=1$

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω πιθανότητες στο θεώρημα Bayes προκύπτει ότι:

$P(A|K)=\frac{1\cdot \frac{1}{3}}{1\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}$

Παρατηρούμε ότι η πιθανότητα το αυτοκίνητο να κρύβεται πίσω από τη πόρτα που επιλέξαμε δεν επηρεάζεται από το το δεδομένο ότι ο Monty αποκαλύπτει πάντα μια πόρτα που κρύβει κατσίκα. Όμως γνωρίζοντας ότι το αυτοκίνητο βρίσκεται είτε πίσω από την πόρτα που επιλέξαμε είτε πίσω από την πόρτα που δεν άνοιξε ο Monty η πιθανότητα να βρίσκεται στην πόρτα που δεν άνοιξε είναι $\frac{2}{3}$ . Έτσι, αλλάζοντας την αρχική μας επιλογή έχουμε διπλάσιες πιθανότητες να κερδίσουμε το αυτοκίνητο!

Πηγές:

nytimes.com

brilliant.org

Δημήτρης Παπαδάκης

Μαθηματικός, Απόφοιτος Πανεπιστημίου Κρήτης