Τα "ανοικτά" προβλήματα των μαθηματικών

 

Σ
τα μαθηματικά κάνουμε συχνά υποθέσεις. Όταν δείξουμε ότι η υπόθεση είναι αληθής τότε την ονομάζουμε θεώρημα ή πρόταση. Τα μαθηματικά που διδασκόμαστε στο σχολείο αποτελούνται απο ορισμούς και θεωρήματα που μας δίνονται έτοιμα. Αλλά η πιο ενδιαφέρουσα πλευρά των Μαθηματικών είναι όταν ερευνούμε τα σύνορα της γνώσης. Εκεί κάνουμε υποθέσεις τις οποίες πρέπει να αποδείξουμε ή να καταρρίψουμε.

Τα άλυτα προβλήματα των μαθηματικών είναι προβλήματα τα οποία μέχρι τώρα δεν έχουν αποδειχθεί από κανένα. Πολλά απ' αυτά λέγονται εικασίες καθώς δεν μπορούμε να τα αποδείξουμε ούτε όμως να τα απορρίψουμε. Το θεώρημα του Fermat, γνωστό και ως Τελευταίο θεώρημα του Fermat, είναι ίσως η γνωστότερη "πρώην" εικασία. Το 17ο αιώνα ο Φερμά (Pierre de Fermat) ισχυρίστηκε πώς "Δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x, y, z και ακέραιος n>2 που να επαληθεύουν την εξίσωση xn + yn=z" και μάλιστα ισχυρίστικε πως είχε μια πολύ απλή απόδειξη του θεωρήματος που όμως δεν βρέθηκε ποτέ. To πρόβλημα αυτό παρέμεινε άλυτο πάνω απο 2 αιώνες έως να το αποδείξουν οι Άντριου Γουάιλς και Ρίτσαρντ Τεϊλορ το 1995. 

Μια εικασία που δεν έχει αποδειχθεί έως σήμερα είναι η εικασία του Γκόλντμπαχ. To 1742 o Γκόλντμπαχ (Christian Goldbach) έστειλε μια επιστολή στον Όϊλερ (Leonard Euler) στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία: "Κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα δύο πρώτων". Θεωρούσε δεδομένο, πως το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα εγκαταλείφθηκε. Ετσι σήμερα η εικασία του Goldbach θα γραφόταν "Κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα τριών πρώτων". Αυτή η μορφή είναι γνωστή σαν "Ασθενής εικασία του Γκόλντμπαχ". Η ονομασία "ασθενής" οφείλετε στο πως αν αποδείξετε την εικασία του Γκόλντμπαχ τότε έχετε αποδείξει και την ασθενή εικασία. Φανταστείτε πως έχετε αναλύσει ένα άρτιο σε άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Αν προσθέσετε και στα δύο μέλη το 3, τότε στο πρώτο μέλος έχετε ένα περιττό αριθμό και στο δεύτερο μέλος το άθροισμα τριων πρώτων.  Αν και κατά καιρούς είχε δοθεί αμοιβή 1 εκατομμυρίου δολαρίων η εικασία δεν έχει αποδειχθεί αλλά ούτε καταρριφθεί. Με την βοήθεια Η/Υ η εικασία έχει επιβεβαιωθεί ότι ισχύει έως το 1017. Eπιβεβαιώσετε την εικασία Γκόλντμπαχ με όποιο αριθμό θέλετε.

Τρία άλυτα προβλήματα, προσιτά ως προς την κατανόηση για τους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, είναι τα παρακάτω:

1) Εικασία του Κόλατζ (Πρόβλημα του 3n+1)

"Έστω ένας οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός n. Αν ο n είναι άρτιος τον διαιρούμε με 2.  Εάν ο n είναι περιττός τον πολλαπλασιάζουμε επί 3 και προσθέτουμε το 1 για να προκύψει ο 3n +1.

Στη συνέχεια αν ο αριθμός που προκύπτει είναι άρτιος τον διαιρούμε με το 2, αν είναι περιττός τον πολλαπλασιάζουμε πάλι επί 3 και προσθέτουμε την μονάδα κ.ο.κ."

Για παράδειγμα: έστω n=3. Επειδή είναι περιττός τον πολλαπλασιάζουμε επί 3 και προσθέτουμε τη μονάδα, οπότε προκύπτει ο αριθμός 10.
Ο 10 είναι άρτιος συνεπώς τον διαιρούμε δια 2 και προκύπτει ο περιττός 5. Συνεχίζοντας, (3·5+1) = 16 και 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1.
Σύμφωνα με την εικασία του Collatz ανεξάρτητα από τον αριθμό που θα ξεκινήσουμε στο τέλος καταλήγουμε πάντα στον αριθμό 1. Αυτό έχει επαληθευτεί αριθμητικά για τους αριθμούς μέχρι και τον 5,76 x 1018 (περίπου 6 δισεκατομμύρια δισεκατομμύρια), αλλά χωρίς αναλυτική μαθηματική απόδειξη. Και υπάρχει πάντα η πιθανότητα  ένας απίστευτα μεγάλος αριθμός να παραβιάσει την εικασία Κόλατζ. Eπιβεβαιώσετε την εικασία Kόλατζ όποιο αριθμό θέλετε!

2) Εικασία των Έρντους και Στράους

"Για κάθε θετικό ακέραιο ν>2 υπάρχουν θετικοί ακέραιοι α, β,γ τέτοιοι ώστε να ισχύει 4/ν=1/α+1/β+1/γ"

Για παράδειγμα: 4/5=1/2 + 1/5 + 1/10 ή 4/3=1/1 + 1/6 + 1/6

Αυτο το πρόβλημα διατυπώθηκε απο τους Έρντους και Στράους το 1948 και εως σήμερα παραμένει ανοικτό.

3) Στοιχειώδης έκδοση της υπόθεσης Ρίμαν

"Για θετικό ακέραιο ν ορίζουμε την συνάρτηση σν ως το άθροισμα των θετικών ακέραιων που διαιρούν το ν και σαν Ην ορίζουμε το άθροισμα Ην=1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/ν. 

Ισχύει σ(ν)≤Ην+ln(Hν)·eHν "

Παράδειγμα: Αν ν=4 τότε σ(ν)=1+2+4=7 και Η4= 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 = 25/12

To 2002 ο Τζέφρι Λανγκάριας απέδειξε πως το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την διάσημη υπόθεση Ρίμαν σχετικά με τις μιγαδικές ρίζες της συνάρτησης Ζήτα του Ρίμαν. Καθώς τα προβλήματα είναι ισοδύναμα αν καταφέρετε να το αποδείξετε τότε το Iνστιτούτο μαθηματικών Clay στο Πίτερομπορο των Η.Π.Α θα σας ανταμείψει με 1.000.000 δολλάρια! Προς το παρόν μπορείτε να επιβεβαιώσετε την στοιχειώδη έκδοση της υπόθεσης Ρίμαν με όποιο αριθμό θέλετε!

Διαβάστε ακόμα

Που θα μας βρείτε

1η Πάροδος Οπλαρχηγού Λακέρδα 6
Ιεράπετρα, Κρήτη

 

6972280996 και 2842110582

 

dimitris_papadakis@yahoo.gr contact@dpmath.gr

Στείλτε μας μήνυμα

{mosmap}